B樣條即基本樣條 (basic spline) 。1946年由舍恩貝格 (Schoenberg) 提出, 并在1972年由德布爾和考克斯 (deBoor-Cox) 分別獨立給出B樣條計算的標準算法[1-2]。理論上常采用截尾冪函數(shù)的差商定義B樣條曲線, 實際應用則常采用B樣條的遞推定義。

B樣條曲線采用控制頂點定義曲線[1-2]。曲線方程可描述為

式中:Pi———控制多邊形的頂點, i=0, 1, …, n;Ni, k (u) ———k次 (k-1次) B樣條基函數(shù), i=0, 1, …, n。

其中, 每個k次規(guī)范B樣條基函數(shù)稱為規(guī)范B樣條, 或簡稱B樣條。由于它由非遞減節(jié)點矢量u的序列T:u0≤u1≤…≤un+k所決定的k次分段多項式, 因而, 稱為k-1次多項式樣條。

根據(jù)德布爾-考克斯的遞推公式, 曲線方程可寫為

式中:i, k———下標, i表示序號, k表示次數(shù)。

三次非均勻有理B樣條函數(shù)描述為

式中:wi———權(quán)因子, 分別與控制頂點Pi相聯(lián)系, (i=0, 1, …, n) ;Ni, k (u) ———節(jié)點矢量, u=[u0, u1, …, un+k+1]按遞推公式確定的k次規(guī)范B樣條基函數(shù);P1, P2, P3, P4———分子系數(shù), 為矢量;Q0, Q1, Q2, Q3———分母系數(shù)。B樣條基函數(shù)的遞推公式見式 (3) ~式 (4) 。

在數(shù)控技術(shù)中, NURBS曲線插補算法將定義NURBS曲線的控制頂點、權(quán)因子、節(jié)點矢量和進給速度等作為NC程序指令, 在CNC系統(tǒng)生成NURBS曲線, 驅(qū)動機床運動, 加工出NURBS曲線的形狀, 這就是NURBS曲線插補。在非線性補償環(huán)節(jié)中應用的NURBS曲線, 可根據(jù)應用要求選用不同的階次。

差壓式流量計是應用歷史***久遠的流量計之一[3-4], 其測量原理是孔板上游側(cè)與下游側(cè)之間產(chǎn)生的靜壓差與流過該裝置的流體流量之間存在下列關(guān)系:

當滿足0.2≤β≤0.6時, 流出系數(shù)C的不確定度為0.5%。其他條件下, 不確定度會有所增加。其中, C經(jīng)Reader-Harris/Gallagher修改, 可表示為

當工藝管道的管道內(nèi)徑D<71.12mm時, 增加下列項:

式中:β———節(jié)流孔直徑d與D之比, 即β=d/D;ReD———根據(jù)D和流體流量等數(shù)據(jù)計算出的雷諾數(shù);L1———孔板上游端面到上游取壓口的距離l1除以D得出的商。

式中:L′2———孔板下游端面到下游取壓口的距離l′2除以D得出的商。對不同取壓方式, L1和L′2的值不同, 參見文獻[5]。

根據(jù)Reader-Harris/Gallagher公式, 可畫出不同管道直徑和不同取壓方式下, C與ReD, β之間的關(guān)系曲面。角接取壓, D=150 mm時, C與ReD, β的關(guān)系如圖1所示。

從圖1可見, 當D確定后, 如果d也確定, 則當流體的ReD大于某限值時, 其C可基本穩(wěn)定在某個規(guī)定的值。通常在0.60~0.61, 而測量不確定度應滿足小于0.5%。

角接取壓, D大于72.12 mm時, β在0.4~0.5, C與ReD的關(guān)系見表1所列。根據(jù)表1中數(shù)據(jù)的分析, 可以發(fā)現(xiàn), 當***大流量與***小流量之比為10∶1時, 即小流量時, 其C的誤差可達2%。但如果***小雷諾數(shù)大于2×104, 則C的誤差就可小于0.5%。該條件是采用差壓式流量計有***小雷諾數(shù)限制的原因。由于受到流體流速的限制, ***大流量不能設(shè)置很大。又由于小流量時, ReD成比例縮小, 在C的非線性影響下造成流量測量的精度下降。因而, 該情況是差壓式流量計的范圍度不能較大的原因。其根本原因是在流量小時, ReD也小, 這時, C與ReD之間存在較大的非線性關(guān)系, 造成小流量時流量測量誤差大, 和流量測量范圍度不能大的結(jié)果。

解決該類非線性關(guān)系的***好方法是進行非線性補償[6-7]。對差壓式流量計由于存在迭代運算, 加上在DCS中進行式 (7) 的運算比較困難, 因此, 實際應用時可采用兩種實現(xiàn)的方法。

當實際差壓流量計已安裝在工藝管道中時, 可采用理論補償方法。該方法根據(jù)Reader-Harris或Gallagher公式, 根據(jù)已知的β和取壓方式, 計算出C與ReD之間的關(guān)系。根據(jù)兩者關(guān)系, 有多種方法實現(xiàn)補償, 如采用多段折線近似法進行補償;采用擬合函數(shù)進行補償;也可用其他非線性環(huán)節(jié)實現(xiàn), 例如, 神經(jīng)網(wǎng)絡等。

示例是已經(jīng)安裝的某節(jié)流裝置, 已知D=100.00mm, β=0.40, 角接取壓方式。為提高擬合精度, 取點較多, 其計算結(jié)果見表2所列。采用NURBS函數(shù)進行擬合, 其NURBS函數(shù)表示為 

從表2可見, 用式 (10) 擬合Reader-Harris或Gallagher計算公式, 具有很高的精度, ***大誤差小于0.013%。因此, 可直接根據(jù)ReD確定C。

在新建項目中, 可用實流標定的方法確定不同流量時ReD與C的關(guān)系曲線, 采用上述擬合方法確定其非線性關(guān)系。***簡單的方法是用多段折線方法擬合, 但需設(shè)置段數(shù), 并用內(nèi)插方法確定其輸出值[8-10]。例如, DCS可以實現(xiàn)其他非線性環(huán)節(jié)[11], 也可采用神經(jīng)網(wǎng)絡實現(xiàn)非線性關(guān)系, 或用有關(guān)方法獲得該非線性關(guān)系的描述, 在此不多述。本文采用NURBS函數(shù)擬合在特定徑比條件下的ReD與C之間的非線性關(guān)系, 并實際實施。將NURBS函數(shù)表示為下列形式。

利用可編程控制器編程語言中的可重用性, 發(fā)現(xiàn)NURBS函數(shù)的基本算式是y=Ax+B。為此, 可編寫AXB函數(shù)實現(xiàn)。NURBS函數(shù)的程序?qū)崿F(xiàn)如圖2所示。

為在線實施, 先建立Online功能塊, 用于實現(xiàn)非線性的ReD與C的關(guān)系, 再針對本文的實際應用, 編寫主程序, 它由QCal, ReCal和NUBRS 3個功能塊組成。以C作為反饋變量, 該程序為迭代程序。QCal功能塊用于計算流體流量, ReCal功能塊用于計算ReD, NUBRS函數(shù)用于計算不同ReD下的C。

在線實現(xiàn)時, 將Online與用常規(guī)開方計算的結(jié)果進行比較, 確定其誤差。如圖3所示。

從圖3可見, 當實際差壓輸入信號是205.2Pa時, 實際流量應為4.983 542kg/s。如果沒有非線性補償, 顯示值是4.921 6kg/s, 顯示值偏小, 誤差達1.24%。通過該方法的補償, 使原流量計的范圍度提高到接近10∶1。

為提高差壓式流量計的流量測量度和范圍度, 可對小流量進行在線非線性補償。由于標準孔板C的計算公式實現(xiàn)比較復雜, 在DCS中計算較困難, 因而采用NURBS函數(shù)[9]來擬合該非線性關(guān)系, 并用它計算小流量時的C, 通過該非線性補償?shù)姆椒? 提高了小流量測量精度, 同時提高了測量范圍度。