低雷諾數(shù)的孔板計(jì)量數(shù)值模擬及其應(yīng)用
摘要:以計(jì)算流體力學(xué)為工具, 詳細(xì)分析計(jì)算了流體流過(guò)孔板的層流流場(chǎng)分布以及壓力降。 計(jì)算了 β=d D =0 .5時(shí)的流出系數(shù), 并根據(jù)計(jì)算結(jié)果擬合出流出系數(shù)與 Re 的關(guān)系式。 在以往孔板的層流流場(chǎng)模擬中, 雷諾數(shù)不超過(guò) 150, 而作者所編的計(jì)算程序能夠計(jì)算雷諾數(shù)從 0 ～ 500 之間所有孔板流場(chǎng), 從而為實(shí)際應(yīng)用奠定了良好的基礎(chǔ)。
1、引言：
孔板被廣泛地應(yīng)用在天然氣、化工裝置的流量測(cè)量等場(chǎng)所,其優(yōu)點(diǎn)是幾何形狀簡(jiǎn)單、耐用、數(shù)據(jù)可靠。在孔板計(jì)量中 ,流出系數(shù)是孔板計(jì)量準(zhǔn)確程度的主要參數(shù)。而隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和流體力學(xué)的發(fā)展,人們可以通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)獲得流出系數(shù)。通過(guò)孔板流場(chǎng)的數(shù)值模擬, 能夠獲得流體流經(jīng)孔板的全部信息。在實(shí)際過(guò)程中, 例如向壓縮機(jī)添加沖洗油、冷卻水、各種阻聚劑等 , 其流量都比較小, 屬于低流量范圍,即層流 ,且都用孔板控制流量。如何根據(jù)孔板壓力差計(jì)算出流量, 就成為現(xiàn)場(chǎng)流量控制和調(diào)查
事故原因的主要依據(jù) , 也為優(yōu)化控制提供數(shù)據(jù)和理論基礎(chǔ)。而實(shí)際工作中 ,缺乏流出系數(shù)和相關(guān)參數(shù)。本文正是在這一背景下 , 進(jìn)行低雷諾數(shù)的孔板流場(chǎng)數(shù)值模擬 ,即層流模擬。模擬程序?qū)?shí)際應(yīng)用有著重要的意義。
2、數(shù)學(xué)模型：
根據(jù)孔板的幾何形狀及參數(shù) , 將管路及孔板簡(jiǎn)化為如圖1 所示的幾何形狀。
2.1、基本方程：
根據(jù)圖 1 幾何形狀 ,流場(chǎng)計(jì)算將在軸對(duì)稱、圓柱坐標(biāo)系下進(jìn)行。假設(shè)流體為不可壓縮、等溫。不可
圖 1 孔板及管路簡(jiǎn)圖
壓縮二維軸對(duì)稱穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的基本方程如下:
壓縮二維軸對(duì)稱穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的基本方程
2.2、不可壓縮流體軸對(duì)稱流動(dòng)方程的無(wú)量綱化：
假設(shè):X =Dx , R =Dr , P =ρup2 , U =uum , V =uvm ,mRe =ρum D μ,其中 um 為入口平均速度。將上述參
數(shù)代入式(1)、(2)、(3),并簡(jiǎn)化得:
假設(shè)進(jìn)口速度分布為拋物線分布, 即:
U X =0 ; V =0
| (3)軸對(duì)稱邊界 | ||||||||||||||
| R =0 : U R =0 ; V =0 | (9) | |||||||||||||
| (4)壁面條件 | ||||||||||||||
| L1 | ,R =0.5 ,0 ≤X ≤X 1 : | |||||||||||||
| a當(dāng) X1 =D | ||||||||||||||
| U =0 , | V =0 | (10) | ||||||||||||
| b當(dāng) X1 =L1 | , | 1 | d | <R < | 1 | : | ||||||||
| D | 2 D | 2 | ||||||||||||
| U =0 , | V =0 | (11) | ||||||||||||
| L1 | +h | 1 d | ||||||||||||
| c當(dāng) X2 = D | , X1 | <X <X 2 , R | = | : | ||||||||||
| 2 | D | |||||||||||||
| U =0 , | V =0 | (12) | ||||||||||||
| d當(dāng) X3 =L1 | +h +L | 2 , X2 ≤X ≤X3 , R =0.5 : | ||||||||||||
| D | ||||||||||||||
| U =0 , | V =0 | (13) | ||||||||||||
2.4、模型的求解：
本文采用區(qū)域擴(kuò)充法 ,將整個(gè)計(jì)算區(qū)域擴(kuò)充為如圖2 所示。
| 圖 2 | 計(jì)算區(qū)域網(wǎng)格劃分示意圖 |
| 3 | 計(jì)算結(jié)果 | ||||||||||
| 3.1 | 流出系數(shù) | ||||||||||
| 不可壓縮流體流經(jīng)孔板的流量公式為 : | |||||||||||
| (πd2 4) 2 | |||||||||||
| Q =Cd | ρ(p′1 -p′2) (14) | ||||||||||
| 4 | |||||||||||
| 1 | -(d D) | ||||||||||
| 上式中, Q 為不可壓縮流體流經(jīng)孔板的流量 , ρ為密 | |||||||||||
| 度 , Cd 為流出系數(shù) , p′1-p′2 為流經(jīng)孔板的壓力差。 | |||||||||||
| 將 Q =πD2 um 4 和 p′1-p′=(2P1 -P2 )ρum2 代入上 | |||||||||||
| 式得: | |||||||||||
| 1 | D | 2 | 4 | 1 | |||||||
| Cd = | 1 -(d D) | (15) | |||||||||
| P1 | |||||||||||
| 2 | d | -P2 | |||||||||
| 式中 ,P 1 、P2 為無(wú)量綱壓力。根據(jù)無(wú)量綱壓力差 ,由 | |||||||||
| 上式即可計(jì)算出流出系數(shù)。 | |||||||||
| 3.2 數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的比較 | |||||||||
| (1)數(shù)值模擬結(jié)果的驗(yàn)證 | |||||||||
| 利用所編制的計(jì)算機(jī)程序分別計(jì)算了文獻(xiàn)[ 1] | |||||||||
| 所給出的 Re 工況。計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[ 1] 的實(shí)驗(yàn)值 | |||||||||
| 比較見(jiàn)表 1 : | |||||||||
| 表 1 流出系數(shù) Cd 與 Re 對(duì)應(yīng)表 | |||||||||
| Re | 2.5 | 5.0 | 10.0 | 25 .0 | |||||
| C d 計(jì)算值 | 0.354 3 | 0 .474 9 | 0.586 5 | 0.668 1 | |||||
| 0.341 5 | 0 .462 9 | 0.581 9 | 0.690 0 | ||||||
| C d 實(shí)驗(yàn)值 | |||||||||
| 由數(shù)值模擬的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可知:本文 | |||||||||
| 的數(shù)據(jù)模擬方法及數(shù)據(jù)是有效和可靠的。 | |||||||||
(2)低雷諾數(shù)的流場(chǎng)分布及壓力分布
圖 3 Re =200 流線分布圖 圖 4 軸向壓力分布
3.3、流出系數(shù)的計(jì)算結(jié)果與 Re 的關(guān)系式：
流出系數(shù)一般是雷諾數(shù)、直徑比和孔板幾何尺寸的函數(shù)。本文模擬計(jì)算雷諾數(shù)在 2 .5～ 500 范圍內(nèi)的流出系數(shù), 計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表 2 :
| 表 2 Cd | 與 Re 關(guān)系 | ||||||||
| Re | 2.5 | 5 | 10 | 25 | 60 | ||||
| Cd | 0 .354 | 3 | 0.474 | 9 | 0.586 | 5 | 0.668 | 1 | 0.703 1 |
| Re | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | ||||
| Cd | 0 .716 | 7 | 0.727 | 4 | 0.734 | 9 | 0.738 | 0 | 0.739 5 |
根據(jù)上述數(shù)據(jù), 采用***小二乘法, 擬合出 :β =d D =0 .5時(shí), Cd 與 Re 的關(guān)系如圖 5 。擬合關(guān)系式為:
| 3.4 | 應(yīng)用舉例 | ||||||||
| 1 000 kg m3 | |||||||||
| 已知 d D 0 | 5 | 1 007 | |||||||
| : = ., ρ= | , μ= . × | ||||||||
| 10–3 Pa s | D | 50 mm | 現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量孔板前后壓差為 | ||||||
| · , | = | , | |||||||
| 0.06 kPa ,計(jì)算流量 。 | |||||||||
| 根據(jù)式(16)、(15), 假設(shè)量 Q =0 .03 m3 h , | |||||||||
| 計(jì)算出平均流速 um ,求出 Re , 代入式(16), 計(jì)算出 | |||||||||
| 流出系數(shù)。將流出系數(shù)代入式(14), 計(jì)算出一新流 | |||||||||
| 量 Q1 。再將新流量與假設(shè)流量比較, 若 Q1 -Q ≤ | |||||||||
| 10–3 ,則 Q1 為所求流量 ;否則, 以 Q1 | 為基準(zhǔn), 重新 | ||||||||
| 假設(shè)流量,重復(fù)上述過(guò)程,直到滿足要求為止。本例 | |||||||||
| ***終計(jì)算結(jié)果為:Q1 =0 .028 4 m3 h 。 | |||||||||